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中考：最短路徑A

最值問題

一定條件下

平面圖形中

某個確定的量

線段長度

角度大小

圖形面積等

最大最小值

基本方法有

特殊位置法

極端位置法

幾何定理法

數(shù)形結(jié)合法

一定直線,同側(cè)兩點

1

如圖,⊙O的半徑為1,點A是半圓 (弧MAN)上的一個三等分點,點B是弧AN的中點,P是直徑MN上的一個動點,則PA+PB的最小值______.

答案√2.

解析：作點A關(guān)于MN的對稱的點A′,連接A′B,

交MN的點P就是我們要找的點.

易得PA+PB的最小值為A′B的長.

連接OA′,AA′

點B是弧AN的中點可得

∠BON=30°,∠A′OB=90°.

在等腰直角三角形A′OB中,

OA′=OB=1,從而求得.

2

拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點P是拋物線對稱軸上任意一點.若點D,E,F分別是BC,BP,PC的中點,連接DE,DF,則DE+DF的最小值為____.  

答案3√2/2

解析：如果D,E,F分別是BC,BP,PC的中點,

則DE,DF是三角形PBC的中位線,

DE=PC/2,DF=PB/2,

則DE+DF=(PC+PB)/2,

故本題轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值.

3

如圖,∠BAC=30°,M為AC上一點, 

AM=2,點P是AB上一動點,

PQ⊥AC,垂足為點Q,

則PM+PQ的最小值為_____. 

答案為√3.

解析：如圖,做M關(guān)于AB的對稱點N,則NP=MP,

PM+PQ=PN+PQ,

當NQ⊥AC時,

PM+PQ取最小值.

易得∠N=∠BAC=30°,

MD=AM/2=1

所以MN=2,

NQ=MNcosN=2×√3/2=√3.

4

在菱形ABCD中,

AB=2, ∠A=120°, 

點P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點,

則PK+QK的最小值為______. 

答案為√3.

解析：三個點都是動點

這是點K動成線BD,且P,Q兩動點都在直線BD的同側(cè)(轉(zhuǎn)化為一條小河兩個村莊的問題),兩個動點假設(shè)一個動點P不動,作點P關(guān)于直線BD的對稱點P'

(四邊形ABCD是菱形,是軸對稱圖形.則點P的對稱點P'一定在邊AB上,點P在邊BC上的動點無論怎樣動它的對稱點一定落到邊AB上),

點Q在邊CD上從而把問題轉(zhuǎn)化為平行線間的距離PK+QK的最小值為P'Q=AE,

在Rt⊿ADE中AD=AB=2, 

∠ADC=180°-∠A=60°,

所以AE=√3.

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